阿里巴巴2024全球数学竞赛决赛：代数与数论问题一

问题

记Mat₂(\mathbb{Z})为2x2整系数矩阵环，\mathbf{R}为子环

\left \{ \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix} \in Mat_2(\mathbb{Z}) \Big| a \equiv d, c \equiv 0 \; \; mod \; 2024 \right \}.

我们通过Mat₂(\mathbb{Z})在V:=\mathbb{Q}^2上自然的左作用将\mathbf{V} 看成一个左\mathbf{R}-模。\mathbf{V} 中的一个\mathbf{R}- 格是指一个左\mathbf{R}- 子模L \subset V使得\mathbf{L} 作为\mathbb{Z}- 模是有限生成的，并且满足\mathbf{L}\otimes \mathbb{Z} \mathbb{Q}= \mathbf{Z}。两个\mathbf{R}- 格是等价的，如果它们作为左\mathbf{R}- 模是同构的。找出V中\mathbf{R}- 格等价类的个数(有限或者无限)；并证明你的答案。

解答

要解答这个问题，我们需要分析子环 R 和 R-模 V 的结构，并确定 R-格 L 的性质。

1. 分析子环 R

子环 R 定义为：

R = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \right| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} \text{ 且 } a \equiv b \pmod{2024} \right\}

这里 c ≡ 0 ( m o d 2024 ) 意味着 c=0。

2. R-模 V

V=Q² 是一个二维向量空间，可以表示为：V = \mathbb{Q}^2 = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{Q} \} ，R 在 V 上的作用是通过矩阵乘法定义的。

3. R-格 L

R-格 L 是 R 的左子模，且作为 Z-模是有限生成的。我们需要找到这样的 L 使得 \mathbf{L}\otimes \mathbb{Z} \,\, \mathbb{Q}= \mathbf{V}

4. 寻找 R-格 L

考虑 R-格 L 的生成元。由于 R 的形式为 \left ( \begin{matrix} a&b \\ 0&a \\ \end{matrix} \right )，我们可以取 L 的生成元为 (1,0) 和 (0,1) 的线性组合，其中系数为整数。因此，L 可以表示为： L = \mathbb{Z} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \oplus \mathbb{Z} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}但是，我们需要确保 L 作为 Z-模是有限生成的，并且 \mathbf{L}\otimes \mathbb{Z} \,\, \mathbb{Q}= \mathbf{V} ​。

5. 等价类的数量

由于 R-格 L 必须满足 \mathbf{L}\otimes \mathbb{Z} \,\, \mathbb{Q}= \mathbf{V} ，这意味着 L 必须包含 V 的一个 Q-基。在这种情况下，L 可以被看作是 V 的一个子空间，其基可以通过 Z-线性组合生成。因此，L 的等价类数量取决于 Z-模的生成元的选择。

结论

由于 R-格 L 必须包含 V 的一个 Q-基，并且 L 作为 Z-模是有限生成的，我们可以得出结论，V 中的 R-格等价类的数量是有限的。具体来说，每个等价类由 L 的生成元的选择确定，这些生成元是 Z 的元素，且可以生成 V 的一个 Q-基。

这个结论是基于 R 的结构和 R-模 V 的性质得出的。具体的等价类数量需要进一步的分析，但基本的结论是有限个等价类。