要证明当整数 n 不是立方数时，n 的立方根必为无理数，我们可以从无理数的定义和立方数的性质出发。以下是详细的证明过程：

无理数的定义

无理数是不能表示为两个整数之比的实数，即不能表示为分数形式 a/b，其中 a 和 b 是整数，且 𝑏≠0。

立方数的定义

立方数是一个整数的三次幂，即存在整数 k 使得 n=k^3。

证明过程

1. 假设的提出： 假设存在一个整数 𝑛n，它不是立方数，但我们假设它的立方根是有理数。这意味着存在两个整数 a 和 b（且 𝑏≠0），使得 n 的立方根可以表示为 a/b 。

2. 立方根的有理数假设： 根据假设，我们可以写出： \sqrt[3]{n}=a/b，将两边立方，得到： n=a^3/b^3 ​

3. 矛盾的发现： 由于 n 是整数，a^3/b^3 也必须是整数。这意味着 a^3 必须是b^3 的倍数。因此，存在整数 k 使得 a^3=kb^3 。

4. 整数性质的利用： 由于 a^3 和 b^3 都是整数的立方，我们可以得出 a 和b 必须是 k 的立方根的倍数。即存在整数 m 和 n 使得 𝑎=𝑘𝑚 和 b=ln。

重新构造立方数： 将 a 和 b 的表达式代入 n=a^3/b^3 中，我们得到：

n=(km)^3/(ln)^3=k^3m^3/l^3n^3=(k/l)^3*m^3/n^3

这表明 n 是(k/l)^3 的倍数，即 n 是一个立方数，这与我们的初始假设矛盾。

1. 结论： 由于我们的假设导致了矛盾，我们得出结论：如果整数 n 不是立方数，那么 n 的立方根不能是有理数，因此它必须是无理数。

结论

通过上述证明，我们得出结论：当整数 n 不是立方数时，n 的立方根必为无理数。这一结论基于无理数和立方数的定义，以及对整数性质的逻辑推理。